| Ausgangspunkt
ist die Phänomenologie der reinen Intervalle: |
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Oktave
= 2/1
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Quinte
= 3/2
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Quarte
= 4/3
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1/4
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1/4
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1/4
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| Werden
die Intervalle als Strecken addiert, so werden rechnerisch die Brüche multipliziert.
Geht man von einem Ton zu dessen Quarte und anschließend zu deren Quint,
so wird die Oktave des Ausgangstons erreicht: |
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4/3
x 3/2 = 12/6 = 2
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| Innerhalb
dieses Bereichs der Phänomenologie wird nach einem kleinsten Bruch gesucht,
der die 12 gebräuchlichen Intervalle in all ihren Erscheinungen, d. h. sowohl
rein wie pythagoreisch und temperiert, sinnvoll beschreibbar macht. |
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| Da
Cents Verhältniszahlen, Brüche sind, bilden ihre Summen Multiplikationen;
mathematisch sind sie die Exponenten des kleinsten, bloß virtuellen Bruches,
des einen Cents. |
| Definition:
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| Bemerkung:
Die Logarithmen entstanden aus den hohen Anforderungen der Handelsbuchrechnung
in der Neuzeit; sie reduzieren die aufwendige Multiplikation auf Addition,
die Division auf Subtraktion. |
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| Da
die herkömmlichen Logarithmentafeln auf der Basis von zehn berechnet sind,
müssen solche mit der Basis |
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| umgewandelt
werden. |
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| Die
Formel heißt: |
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| In
absoluten Cent wird angegeben, wie oft das kleinste Intervall 21/1200
aneinandergefügt, d. h. mit sich selbst multipliziert werden muss, damit
sich eine gesuchte Frequenz ergibt. |
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| Während
in diesem Funktionszusammenhang die x-Werte als Cents gleichmäßig weitergehen
– und im temperierten System äquidistant, im gleichen Abstand die musikalischen
Töne beschreiben – steigen die y-Werte als Hertz immer stärker an, und zwar
in gleicher Weise, wo auch immer man einen Ausschnitt zur Illustration des
Steigerungsgrades der Kurve wählt, eben |
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| Wie
wurde in diesem Beispiel der absolute Centwert für den Ausgangston 440 Hertz
ausgerechnet? |
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| (Die
Zehnerlogarithmen lg sind den gewöhnlichen Logarithmentafeln zu entnehmen.)
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| Der
Rechnungszusammenhang mit den Bruchzahlen der reinen Intervalle bedingt
das definitorische Frequenzmaß als Vermittelndes: |
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2
Hz = 1200 C
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1
Hz = 0 C
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Quinte
= 3/2 = 1,5 Hz = x
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| Also:
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Quarte
= 4/3 = 1 Hz = 498,045 C
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…
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…
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…
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| Wiederholung:
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| 1.
Transkulturell wird die Oktave als Einheit erfahren, die selbst im Extremfall
reiner Pentatonik durch zwölf benennbare Töne aufgeteilt ist. Die Töne können
auch dann leicht benannt werden, wenn sie physikalisch differente Qualitäten
aufweisen: eine Terz wird als Terz erkannt beziehungsweise zurechtgehört,
handele es sich um eine pythagoreische, reine, temperierte oder „falsche“.
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| 2.
Wahrscheinlich in allen Kulturen gibt es das Metier der Musiktheorie, das
mit den Attituden der Musikanten keineswegs zu korrespondieren braucht.
Zu diesen Theorien gehört die Frage nach dem kleinsten hörbaren Intervall
wie auch nach demjenigen, das als atomische Einheit konzipiert wird und
mit welchem alle möglichen und musikalisch unmöglichen Intervalle beschrieben
werden. Diesen Zweck erfüllt das Cent, 1200 für eine Oktave. |
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| 3.
Die Zahl 12 ergibt sich aus der Einsicht in zwölf Tonnamen für eine Oktave,
weltweit; die zwei Dezimalstellen sind pragmatisch begründet. |
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| 4.
Wenn die Oktave aus 1200 gleichen Elementen besteht, wird ein einzelnes
wie folgt verständlich: es ist dasjenige, welches zwei ergibt, wenn es 1200
Mal mit sich selbst multipliziert wird, oder eben |
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| 5.
Wie die Addition mit der Subtraktion und die Division mit der Multiplikation
verschwistert sind, ist das Rechnen mit Exponenten das Umgekehrte des Wurzelziehens:
Wird die oben gesetzte Wurzel mit dem Exponenten 1200 versehen, ergibt sich
2: |
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| 6.
Unabhängig von allen musiktheoretischen und mathematischen Intervallspekulationen
wurde das Frequenzmaß Hertz zur Tonhöhenbestimmung entdeckt: gleichmäßig
langsame Schwingungszahlen pro Zeiteinheit werden als Rhythmen wahrgenommen,
schnelle, aber höchstens 20'000 pro Sekunde als Töne. Erst wo diese beiden
Maße, die vom Selben sprechen aber auf verschiedene Weise, ineinander übersetzbar
sein sollen, erscheinen die Logarithmen, als Momente von Gleichungen, wo
ein Exponent stetig zu- oder abnimmt, eben die Cents. |
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