Die reine Stimmung

Jener „Fehler“, die „Irrationalität“ in der pythagoreischen Intervallbestimmung wurde schon zu Lebzeiten von den Schülern des Pythagoras diskutiert. Seit jener alten Zeit ist die Musiktheorie geprägt entweder durch eine empiristische oder dann eine mathematizistisch-rational-berechnende Distanzierung von Pythagoras, wobei nicht ohne weiteres erstens diese Tendenzen voneinander unterscheidbar sind und zweitens, damit zusammenhängend, es nicht eigentlich klar ist, was genau der Empirismus in der antiken und mittelalterlichen Akustik gewesen war – einer der Augen und/oder einer der Ohren – werden doch die physikalischen Apparaturen zur Messung der Frequenzen und der genauen Hörbarmachung der Obertöne erst im 19. Jahrhundert konstruiert.

Alle Intervallbestimmungen, die nicht-pythagoreisch und nicht-temperiert sind, heißen rein, mathematisch-rein oder natürlich-harmonisch. Wie die pythagoreischen sind auch diese in allen sog. Hochkulturen anzutreffen; besonders wild abgehandelt und nicht selten auch ins Absurde getrieben wurden sie im europäischen Mittelalter, in der Scholastik.

Entscheidend ist bei allen diesen Berechnungen bzw. Stimmanweisungen (für Orgeln und Klavichorde) der Miteinbezug der Terzen. Hat man auf dem Monochord mit der 1 Meter langen Saite die Intervalle der Oktave, der Quinte und der Quart bestimmt, als 1:2, 2:3 und 3:4, also 50 cm, 66, cm und 75 cm, dann findet man auch das ebenso angenehme und leicht zu singende Intervall der großen Terz erstaunlicher Weise in einem ganzzahligen Bruch, als 4:5.

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…das könnte langsam zu denken geben. Und in der Tat ist dies die Reihenfolge der Obertöne, die nichts anderes sind als die unendliche Vervielfachung der Grundfrequenz (in Hz): 1f, 2f, 3f, 4f, 5f, 6f etc.; die Intervalle zwischen den Obertönen als

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bilden dann diejenigen Verhältnisse, deren arithmetische Abweichungen voneinander regelmäßig kleiner werden als 1:1, 1:2, 1:3, 1:4, 1:5, 1:6, 1:7 etc.

Die Obertonreihe erscheint somit beinahe ähnlich einer Grenzwertkurve, bei der die einzelnen Schritte immer kleiner werden: 6:7 bis 11:12 sind Ganztonschritte, dann folgen Halbtöne, die immer weiter ins Mikroskopische abdriften – selbstverständlich sind diese Obertöne, mathematisch beschreibbar, empirisch nur mit modernen Apparaturen hörbar zu machen.

Man sieht jetzt die Ähnlichkeit der Ton- mit der Raumdistanz: ein ganzzahliges Vielfaches einer Frequenz führt diese zu einem nicht recht wahrnehmbaren Grenzwert wie sich die Messdistanz, der Meter, in der räumlichen Weite verliert. Wissenschaftshistorisch ist gänzlich der Problemhorizont der Neuzeit maßgebend: Leibniz und Newton.

Neben der Terz bleibt als Intervall noch die Sekunde; diese hat schon Pythagoras als das Intervall zwischen der Quarte und der Quinte bestimmt,

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das Resultat ist im übrigen identisch mit der oben angewandten Rechnung 2/3 +2/3 –1/2 (Quinte mit Oktavtransponierung), also

2/3 x 2/3 x 2/1 = 8/9.

Die natürlich-harmonische Stimmung lautet nun C D E F G . . c als Abfolge der Intervalle bezüglich des Grundtons:

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Werden diese Intervalle voneinander abgezogen, ergeben sich folgende Ganz- und Halbtöne:

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Auch diese reine Tonreihe hat also, sichtbar in der begrifflichen Unterscheidung ihrer Ganztöne, einen Fehler: ein Komma. Es ist der Abstand zwischen dem großen und dem kleinen Ganzton, D—E

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Dieses syntonische oder diatonische Komma beträgt 21,506 Cent.

Es ist vor allem diese Entdeckung, die in außereuropäischen Tonsystemen Antrieb zur Besonderung war, wie im indischen zur Definierung der Shrutis. Doch sind in diesen Systemen die Äquidistanzen nur ideell, nicht reell. Denn wenn die Oktave, um beim indischen Tonsystem zu bleiben, aus 22 Shrutis besteht, dann ergeben

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keineswegs eine Oktave, aber der konstatierbare Unterschied erlaubte offenbar bereits doch die konzeptuell verbindliche Postulierung von 4 Shrutis für den großen Ganzton, 3 für den kleinen, 2 für den Halbton. (Die Äquivokation im Begriff Shruti sei hier vorweggenommen: a) kleinste hörbare Tondifferenz, b) kleinste Maßeinheit des Tonsystems, c) Einheit des Tonsystems selbst, also jedwelcher Ton.)

Bei der hier erfolgten Konstruktion der natürlich-harmonischen Reihe fehlen noch die Töne des oberen Tetrachords A und H mit den Intervallen eines großen Ganztons, eines kleinen und eines Halbtones. Soll die Sext möglichst rein klingen, wird zwischen G und A der kleine Ganzton platziert, 9/10 dann der große für H mit dem nachfolgenden Halbtonschritt, 15/16.

Bezüglich des Grundtons bildet die Sext den Bruch

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die Septime

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Die Folge der Unterschiedlichkeit der Ganztöne bewirkt, dass die Quinte D—A äußerst dissonant klingt:

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Da wie oben angetönt es nicht möglich ist, aus ganzzahligen Brüchen die Wurzel zu ziehen, gibt es keine reinen Halbtöne, deren Summe ein Ganzton wäre:

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Umgekehrt liefert die Natur in den Obertönen eine Fülle von Mikrointervallen, deren Schatz in der Computermusik nur endlich gehoben werden müsste.